Tog ett team av matematiker bara ett stort steg mot att svara på en 160-årig miljon dollarfråga i matematik?
Kanske. Besättningen löste ett antal andra, mindre frågor inom ett fält som kallas nummerteori. Och därmed har de öppnat en gammal väg som så småningom kan leda till ett svar på den gamla frågan: Är Riemann-hypotesen korrekt?
Reimann-hypotesen är en grundläggande matematisk antagande som har enorma konsekvenser för resten av matematiken. Det utgör grunden för många andra matematiska idéer - men ingen vet om det är sant. Dess giltighet har blivit en av de mest berömda öppna frågorna i matematik. Det är ett av sju "Millennium Problems" som lades upp år 2000 med löfte om att den som löser dem kommer att vinna $ 1 miljon. (Endast ett av problemen har sedan dess lösts.)
Var kom denna idé ifrån?
Tillbaka 1859 föreslog en tysk matematiker vid namn Bernhard Riemann ett svar på en särskilt taggig matematikekvation. Hans hypotese går så här: Den verkliga delen av varje icke-trivial noll i Riemann zeta-funktionen är 1/2. Det är ett ganska abstrakt matematiskt uttalande, som har att göra med vilka siffror du kan lägga till en viss matematisk funktion för att göra den funktionen lika med noll. Men det visar sig ha stor betydelse, viktigast av frågor om hur ofta du kommer att möta primtal när du räknar upp till oändligheten.
Vi kommer tillbaka till detaljerna i hypotesen senare. Men det viktiga att veta nu är att om Riemann-hypotesen är sann, svarar den på många frågor i matematik.
"Så ofta i talteorin, vad som slutar hända är om du antar Riemann-hypotesen, då kan du bevisa alla typer av andra resultat," Lola Thompson, en talteoretiker vid Oberlin College i Ohio, som inte var inblandad i denna senaste forskning, sa.
Ofta, berättade hon för Live Science, kommer nummerteoretiker först att bevisa att något är sant om Riemann-hypotesen är sann. Sedan kommer de att använda det beviset som ett slags springbräda mot ett mer intrikat bevis, som visar att deras ursprungliga slutsats är sant om Riemann-hypotesen är sann eller inte.
Det faktum att detta trick fungerar, sa hon, övertygar många matematiker att Riemann-hypotesen måste vara sant.
Men sanningen är att ingen vet med säkerhet.
Ett litet steg mot ett bevis?
Så hur verkade detta lilla team av matematiker föra oss närmare en lösning?
"Vad vi har gjort i vårt uppsats," sade Ken Ono, ett antal teoretiker vid Emory University och medförfattare till det nya beviset, "är vi återbesökt ett mycket tekniskt kriterium som motsvarar Riemann-hypotesen ... och vi visade oss vara ett stort Vi bevisade en stor del av detta kriterium. "
Ett "kriterium som är ekvivalent med Riemann-hypotesen", i detta fall, hänvisar till ett separat uttalande som är matematiskt ekvivalent med Riemann-hypotesen.
Det är inte uppenbart vid första anblicken varför de två uttalandena är så kopplade. (Kriteriet har att göra med något som kallas "hyperbolicitet av Jensen-polynomier.") Men på 1920-talet bevisade en ungersk matematiker vid namn George Pólya att om detta kriterium är sant, så är Riemann-hypotesen sant - och vice versa. Det är en gammal föreslagen väg mot att bevisa hypotesen, men en som i hög grad hade övergivits.
Ono och hans kollegor visade i en artikel publicerad 21 maj i tidskriften Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS) att kriteriet i många, många fall är sant.
Men i matematik räcker många inte för att räkna som ett bevis. Det finns fortfarande några fall där de inte vet om kriteriet är sant eller falskt.
"Det är som att spela en Powerball-miljonantal," sa Ono. "Och du känner till alla siffror men de sista 20. Om till och med ett av de senaste 20 siffrorna är fel, förlorar du ... Det kan fortfarande falla isär."
Forskare måste komma med ett ännu mer avancerat bevis för att visa att kriteriet är sant i alla fall och därmed bevisa Riemann-hypotesen. Och det är inte klart hur långt borta ett sådant bevis är, sa Ono.
Så hur stort är det här uppsatsen?
När det gäller Riemann-hypotesen är det svårt att säga hur stor affär det är. Mycket beror på vad som händer därefter.
"Detta är bara en av många likvärdiga formuleringar av Riemann-hypotesen," sa Thompson.
Med andra ord finns det många andra idéer som, liksom detta kriterium, skulle bevisa att Riemann-hypotesen är sann om de själva skulle bevisas.
"Så det är verkligen svårt att veta hur mycket framsteg detta är, för å ena sidan har det gjort framsteg i denna riktning. Men det finns så många likvärdiga formuleringar att kanske denna riktning inte kommer att ge Riemann-hypotesen. Kanske en av de andra motsvarande teorema istället kommer att göra, om någon kan bevisa en av dem, ”sa Thompson.
Om beviset dyker upp på detta spår, kommer det sannolikt att innebära att Ono och hans kollegor har utvecklat en viktig underliggande ram för att lösa Riemann-hypotesen. Men om det dyker upp någon annanstans, kommer detta papper att visa sig ha varit mindre viktigt.
Ändå är matematiker imponerade.
"Även om detta förblir långt borta från att bevisa Riemann-hypotesen, är det ett stort steg framåt," skrev Encrico Bombieri, en teoretiker från Princeton som inte var involverad i teamets forskning, i en bifogad artikel 23 i PNAS. "Det finns ingen tvekan om att denna artikel kommer att inspirera till ytterligare grundläggande arbete inom andra områden inom talteori och i matematisk fysik."
(Bombieri vann en Fields-medalje - det mest prestigefyllda priset i matematik - 1974, till stor del för arbete relaterat till Riemann-hypotesen.)
Vad betyder Riemann-hypotesen ändå?
Jag lovade att vi skulle komma tillbaka till detta. Här är Riemann-hypotesen igen: Den verkliga delen av varje icke-trivial noll i Riemann zeta-funktionen är 1/2.
Låt oss bryta ner det beroende på hur Thompson och Ono förklarade det.
Först, vad är Riemann zeta-funktionen?
I matematik är en funktion en relation mellan olika matematiska mängder. En enkel kan se ut så här: y = 2x.
Riemann zeta-funktionen följer samma grundprinciper. Bara det är mycket mer komplicerat. Så här ser det ut.
Det är en summa av en oändlig sekvens, där varje term - de första få är 1/1 ^ s, 1/2 ^ s och 1/3 ^ s - läggs till de tidigare termerna. Dessa ellipser betyder att serien i funktionen fortsätter att vara så, för alltid.
Nu kan vi besvara den andra frågan: Vad är en noll på Riemann zeta-funktionen?
Detta är lättare. En "noll" för funktionen är valfritt nummer du kan lägga in för x som gör att funktionen är lika med noll.
Nästa fråga: Vad är den "riktiga delen" av en av nollorna, och vad betyder det att det är lika med 1/2?
Riemann zeta-funktionen innebär vad matematiker kallar "komplexa siffror." Ett komplext nummer ser ut så här: a + b * i.
I den ekvationen står "a" och "b" för alla verkliga siffror. Ett verkligt antal kan vara allt från minus 3, till noll, till 4,9234, pi eller 1 miljard. Men det finns en annan typ av nummer: imaginära nummer. Fantasiska siffror dyker upp när du tar kvadratroten av ett negativt tal, och de är viktiga och dyker upp i alla typer av matematiska sammanhang.
Det enklaste imaginära talet är kvadratroten -1, som är skriven som "i." Ett komplext tal är ett verkligt tal ("a") plus ett annat reellt tal ("b") gånger i. Den "riktiga delen" av ett komplext nummer är att "a."
Några nollor av Riemann zeta-funktionen, negativa heltal mellan -10 och 0, räknas inte för Reimann-hypotesen. Dessa betraktas som "triviala" nollor eftersom de är riktiga siffror, inte komplexa siffror. Alla andra nollor är "icke-triviala" och komplexa siffror.
Riemann-hypotesen säger att när Riemann zeta-funktionen korsar noll (med undantag för nollorna mellan -10 och 0), måste den verkliga delen av det komplexa antalet vara lika med 1/2.
Det lilla påståendet låter kanske inte så viktigt. Men det är. Och vi kan vara bara en teensy bit närmare att lösa det.
