Min fysiska känsla berättar för mig att hastigheten för avstängning är utrymningshastigheten.
Denna minimering kan fungera bättre med ett förhållande mellan den totala energiförändringen i asteroidsystemet plus utmatat material till energin från det utkastade materialet. Raketekvationen är till viss hjälp. Raketekvationen är en bevarande av momentumresultatet med
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
där V är reaktionsmassahastigheten,? v och? m är förändringen i hastighet och massförlust av "raket", eller i detta fall asteroiden, och m och v är objektets initiala massa och hastighet. Vi ställer v = 0 och får
? v = V (? m / m)
och hastigheten integrerad upp är v = V ln (m_i / m_f), för m_i den initiala massan och m_f den slutliga massan. Om massförändringen är liten har vi
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
och asteroidens momentum i slutet är p ~ = V (m_i - m_f). Vi låter nu V = u - v_e, för v_e utrymningshastigheten och u hastigheten för objektet som kastas av. Detta betyder att V är hastigheten för det avstängda objektet "i oändligheten."
Anta nu att vi vill minimera den kinetiska energin hos asteroiden K = (1/2) p ^ 2 / m_f för en given gjutning av den kinetiska energin E = (1/2)? Mu ^ 2. Vi konstruerar ett måttlöst förhållande,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
BTW, det är viktigt att arbeta med ett måttlöst förhållande. Så vi minimerar detta för en given? M och beräknar u. Så vi minimerar
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
och detta är noll vid v_e = u. Detta verkar lite konstigt med tanke på formeln för raketekvationen, men det kommer jag att diskutera nedan.
Vi tar sedan det andra derivatet för att avgöra om detta är max eller min och vi får
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
som vid u = v_e är -2 <0 och så det är en min, vad vi vill ha. Det är också tydligt att u = v_e är den minsta kinetiska energi som vi kan ge massan.
Det låter konstigt att vi har v ~ = V (m_i / m_f - 1), vilket för V = u - v_e är noll vid u = v_e. För u = v_e rör sig dock asteroiden ut tills det avstängda objektet når oändligt. Syftet med att göra detta är att skapa en förskjutning av asteroiden, och när det kastade objektet når "oändlighet" kommer asteroiden att nå ett visst förskjutningsavstånd bort.
LC
