"Mot oändligheten och vidare!"
Har du till och med tänkt djupt på Buzz Lightyears berömda fångstfras från filmerna "Toy Story"? Antagligen inte. Men kanske har du ibland tittat upp på natthimlen och undrat om själva oändligheten.
Oändlighet är ett konstigt koncept, som den mänskliga hjärnan har svårt att slå in sin begränsade förståelse runt. Vi säger att universum kan vara oändligt, men kan det egentligen bara fortsätta för evigt? Eller siffrorna för pi efter decimalen - kör de faktiskt oändliga, vilket alltid ger oss så mycket mer precision om förhållandet mellan cirkelns omkrets och radie? Och kan Buzz ha rätt? Finns det något bortom oändligheten?
För att ta itu med dessa sinnesböjande spekulationer tog Live Science hjälp av matematikern Henry Towsner från University of Pennsylvania i Philadelphia, som var vänlig nog att försöka besvara frågan: "Kan du räkna förbi oändligheten?" (Varning: det kommer att bli svårt.)
Oändlighet, sade Towsner, sitter på en konstig plats: De flesta känner att de har en viss intuition om konceptet, men ju mer de tänker på det, desto tråkigare blir det.
Matematiker, å andra sidan, tycker inte ofta om oändligheten som ett begrepp på egen hand, tillade han. Snarare använder de olika sätt att tänka på det för att komma till dess många aspekter.
Till exempel finns det olika storlekar på oändligheten. Detta bevisades av den tyska matematikern Georg Cantor i slutet av 1800-talet, enligt en historia från University of St. Andrews i Skottland.
Cantor visste att de naturliga siffrorna - det vill säga hela positiva siffror som 1, 4, 27, 56 och 15,687 - fortsätter för alltid. De är oändliga, och de är också det vi använder för att räkna saker, så han definierade dem som "oändligt oändligt", enligt en användbar webbplats om historia, matematik och andra ämnen från den pedagogiska karikaturtecknaren Charles Fisher Cooper.
Grupper med oändligt många har intressanta egenskaper. Till exempel är jämna siffror (2, 4, 6, etc.) oändligt många. Och även om det finns tekniskt hälften så många av dem som det som omfattas av hela uppsättningen av naturliga nummer, så är de fortfarande samma oändliga typ.
Med andra ord kan du placera alla jämna siffror och alla naturliga siffror sida vid sida i två kolumner och båda kolumnerna går till oändlighet, men de är samma "längd" i oändligheten. Det betyder att hälften av den räknbara oändligheten fortfarande är oändlig.
Men Cantors stora insikt var att inse att det fanns andra uppsättningar med nummer som var oändligt oändliga. De verkliga siffrorna - som inkluderar naturliga siffror såväl som bråk och irrationella nummer som pi - är mer oändliga än de naturliga siffrorna. (Om du vill veta hur Cantor gjorde det och kan hantera någon matematisk notation kan du kolla in det här kalkylbladet från University of Maine.)
Om du skulle ställa upp alla naturliga siffror och alla verkliga siffror sida vid sida i två kolumner skulle de verkliga siffrorna sträcka sig utöver de naturliga siffrornas oändlighet. Kantor blev senare galen, förmodligen av skäl som inte är relaterade till hans arbete med oändlighet, enligt Cooper.
Vad räknas?
Så, tillbaka till frågan om att räkna tidigare oändlighet. "Vad matematiken får dig att fråga är:" Vad betyder det egentligen? "Sa Towsner. "Vad menar du med att räkna förbi oändligheten?"
För att komma till frågan talade Towsner om ordinära nummer. Till skillnad från kardinalnummer (1, 2, 3 och så vidare), som berättar hur många saker som finns i en uppsättning, definieras ordinarier av deras positioner (första, andra, tredje osv.), Och de infördes också i matematik av Kantor, enligt matematikwebbplatsen Wolfram MathWorld.
I ordnumren finns ett begrepp som heter omega, betecknat med den grekiska bokstaven ω, sade Towsner. Symbolen ω definieras som den sak som kommer efter alla andra naturliga nummer - eller, som Cantor kallade det, den första transfinite ordinalen.
Men en av sakerna med siffror är att du alltid kan lägga till en till i slutet, sa Towsner. Så det finns något som ω + 1 och ω + 2 och till och med ω + ω. (Om du undrar, träffar du så småningom ett nummer som heter ω1, som är känt som den första obestämliga ordinalen.)
Och eftersom räkningen är på samma sätt som att lägga till ytterligare siffror kan dessa begrepp på ett sätt räkna förbi oändligheten, sade Towsner.
Det konstiga med allt detta är en del av anledningen till att matematiker insisterar på att noggrant definiera deras villkor, tillade han. Om inte allt är i ordning är det svårt att skilja vår normala mänskliga intuition från vad som kan bevisas matematiskt.
"Matten säger till dig:" Introspekt djupt, vad räknas? "Sa Towsner.
För oss bara dödliga kan dessa idéer vara svåra att helt beräkna. Hur exakt arbetar matematiker med allt detta roliga företag i sin dagliga forskning?
"Mycket av det är praxis," sade Towsner. "Du utvecklar nya intuitioner med exponering, och när intuitionen misslyckas kan du säga: 'Vi pratar om detta exakta stegvisa rigorösa bevis.' Så om detta bevis är förvånande kan vi fortfarande kontrollera att det är korrekt och sedan lära oss att utveckla en ny intuition kring det. "
